왜 이 세 개인가

앞의 둘은 이미 일어난 일이고 GEX만 앞을 본다. 변동성이 낮아도 GEX가 음수면 그 값은 곧 개정된다. 셋을 같이 보는 이유다.

VIX를 안 쓰는 건 그게 S&P 500 옵션의 내재변동성이기 때문이다. 개별 종목 값이 아니고, 시장이 매긴 값이지 실제로 일어난 움직임도 아니다. 끌림을 만드는 건 실제로 일어난 움직임이다.

어디서 어떻게 읽나

실현변동성과 ATR%는 Barchart의 Technical Analysis 탭 한 페이지에 둘 다 있고, GEX는 QuantWheel에서 본다. 티커 칸을 바꾸면 링크가 따라 바뀐다.

티커는 기초자산으로 넣는다

3배 상품이 아니라 그 바탕이 되는 지수나 ETF를 넣는다. 끌림 공식의 변동성은 기초자산의 것이고, 딜러 헤지가 걸리는 것도 원지수 옵션 쪽이다. 레버리지 티커를 고르면 자동완성 아래에 바꾸라는 안내가 뜬다.

기준표

기준을 고정 숫자로 두면 안 된다. 같은 변동성이라도 2배와 3배에서 의미가 다르다. 그래서 내가 예상하는 월 수익률을 두 개의 문턱과 비교하는 방식으로 잡았다.

본전선 아래면 기대수익이 마이너스다. 사면 안 된다. 1배선 아래면 돈은 벌지만 레버리지 없이 그냥 사는 게 더 낫다. 월변동성은 실현변동성을 12의 제곱근으로 나눈 값이다.

월 수익률 기준. 무위험 이자율 연 4% 가정. 이자율을 바꾸면 표도 같이 움직인다.

읽는 법은 이렇다. 변동성 20%인 지수를 3배로 사려면 월 1% 이상을 봐야 한다. 연으로 12%가 넘는다. 그 정도 확신이 없으면 그냥 1배로 사는 게 수학적으로 낫다. 변동성이 30%로 오르면 그 문턱이 월 1.83%, 연 24%가 된다.

점수

왜 이 숫자인가

변동성이 문턱을 만든다. k배 상품이 기초자산 수익률의 k배에서 잃는 양이 이 값이다. 개념 탭 3장의 감마 계수가 그대로 나온다. 양의 감마를 얻는 대가다.

변동성이 두 배면 끌림은 네 배다. 문턱이 변동성의 제곱으로 올라가는 이유가 이거다.

ATR%. 실현변동성은 종가만 보므로 갭을 통째로 놓친다. ATR은 전일 종가와 당일 고저를 같이 보니 갭이 들어온다. 3배 상품은 기초자산이 하루에 33% 빠지면 이론상 전액 손실이고, 실제로는 그 전에 강제 리밸런싱이나 마진콜이 걸린다. ATR%가 3%면 33%는 11 ATR — 정규분포라면 불가능하지만 실제 수익률 분포는 꼬리가 두껍다. ATR이 넓어지면 같은 손절 폭이 훨씬 자주 털리기도 한다.

다만 ATR%와 실현변동성은 사실상 같은 것을 다르게 잰 값이라 상관관계가 높다. 독립적인 정보는 둘의 비율에 있다. 실현변동성을 11로 나누면 ATR%가 대략 나오는데, 실제 ATR%가 그보다 1.35배 넘게 크면 종가만 봐서는 안 보이는 갭이나 장중 되돌림이 크다는 뜻이다. 판정 문구에 그 경고가 붙는다.

GEX. 음수 하나로 거부인 이유는 이 값만 미래를 보기 때문이다. 음수면 딜러가 오를 때 사고 내릴 때 파는 쪽에 서 있어 움직임이 증폭된다. 지금 변동성과 ATR이 낮아도 곧 안 낮아진다는 뜻이다. 레버리지에서 치명적인 건 평균 변동성이 아니라 갑자기 커지는 변동성이다.

월 수익률 예상. 나머지 셋은 조회해서 넣는 값이지만 이건 본인 판단이다. 그래서 이 도구의 결론은 전적으로 여기에 달려 있다. S&P 500 장기 평균이 월 0.7~0.8% 정도다. 그보다 훨씬 높은 숫자를 넣어야 초록불이 뜬다면, 초록불이 뜬 게 아니라 본인이 높은 숫자를 넣은 것이다.

이 표가 못 하는 것

• 방향. 위에서 말한 대로. 초록불이 떠도 하락장이면 3배로 더 크게 잃는다.
• 세 개가 독립이 아니다. 실현변동성과 ATR%는 같은 것을 다르게 잰 값이다. 전부 초록인 건 두 신호가 세 칸을 채운 것에 가깝다. 실질적으로 독립된 정보는 GEX와 갭 비율뿐이다.
• 결론이 본인 입력에 달려 있다. 예상 월 수익률은 데이터가 아니라 전망이다. 숫자를 올리면 초록불은 언제든 켜진다. 이 도구가 막아주는 건 계산 실수지 낙관이 아니다.
• 기대값 이야기일 뿐이다. 문턱은 평균적으로 그렇다는 것이지, 문턱을 넘겨도 중간에 반토막이 나면 버틸 수 있느냐는 완전히 다른 질문이다.
• 레버리지 ETF는 장기 보유 상품이 아니다. 매일 재조정하는 구조라 기간이 길수록 경로에 의존한다. 조건이 좋아도 "들고 있어라"가 아니라 "지금은 덜 나쁘다"다.
• 비용이 안 들어 있다. 운용보수, 조달금리, 스프레드, 세금.
• GEX는 추정값이다. 딜러가 실제로 어느 쪽에 서 있는지는 공개되지 않는다. 개념 탭 6장 참고.

델타는 지금의 방향, 감마는 그 방향이 변하는 속도.

1. 롱과 숏

• 롱: 사서 보유한 상태
• 숏: 빌려 팔거나 매도한 상태

계약을 샀냐 팔았냐의 문제다. 하지만 "이거 롱이야 숏이야"라고 물을 때 알고 싶은 건 대개 다른 것이다. 주가가 오를 때 버는가, 내릴 때 버는가. 그건 2장의 델타가 답한다.

옵션의 바탕이 되는 자산을 기초자산이라 한다. 아래는 기초자산이 주식인 경우로 한정한다.

2. 델타

주가가 1달러 오를 때 계좌 평가액이 얼마나 변하는가.

시간과 변동성을 고정하고 주가만 움직였을 때의 변화율이다. 현실에선 셋이 같이 움직이니 델타 하나로 손익이 설명되지 않고, 개념 자체가 비직관적이다.

주식은 단순하다. 100주 보유면 델타는 +100, 100주 공매도면 델타는 −100. 주식만 보유한 계좌의 델타는 주가와 무관하게 수량으로만 정해진다. 선물은 실무상 계약당 ±1로 보지만, 만기까지의 이자와 배당이 얹혀 있어 아주 조금 벗어난다.

옵션은 다르다. 1주에 대한 옵션 기준 델타는 항상 −1과 +1 사이다.

• 콜 매수 (또는 풋 매도) 0 ~ +1
• 풋 매수 (또는 콜 매도) −1 ~ 0

옵션 1계약이 100주짜리면 계약 델타는 여기에 100을 곱한다. 옵션은 주식처럼 주 단위로 사는 게 아니라 계약 단위로 산다. 미국 주식 옵션은 보통 1계약이 100주다.

증권사 옵션 화면에 델타 0.4로 뜬 콜옵션은 주가가 1달러 오를 때 대략 0.4달러 오른다. 대략인 이유는 둘이다. 0.4라는 값 자체가 모델 추정치라는 것(2.1), 그리고 주가가 조금 움직였을 때만 맞는 근사라는 것(5장).

결국 "롱이냐 숏이냐"는 계좌 델타를 합친 부호다. 풋 매수는 계약상 롱이지만 델타는 음수 — 롱 포지션이면서 숏 델타다.

2.1. 델타는 왜 직접 볼 수 없나

주가·시간·변동성을 변수로 갖는 옵션 가격 함수가 관찰되지 않기 때문이다. 순환처럼 들리지만 그게 맞다. 옵션 가격 함수를 알고 싶어서 지표를 보는 건데, 그 지표가 함수를 미분해야 나오는 값이다.

사후 역산도 안 된다. 주가가 1달러 오르는 동안 옵션이 0.4달러 올랐다 해도, 그 사이 시간이 흘렀고 변동성도 바뀌었다. 0.4달러에서 주가 몫만 떼어낼 수 없다. 게다가 알고 싶은 건 지나간 움직임이 아니라 다음 움직임이다.

그래서 모델을 하나 가정하고, 시장가격에서 변동성을 역산한 뒤(내재변동성) 그 모델을 미분한다. 출발점은 블랙–숄즈다. 다만 이건 변동성을 상수로 놓는다. 현실의 변동성은 행사가에 따라, 만기에 따라, 시간에 따라 달라지므로 데스크에서는 그 위에 얹은 모델들을 쓴다. 행사가·만기별 변동성을 시장에서 그대로 읽어내는 뒤피르 로컬볼, 변동성 자체를 확률과정으로 두는 헤스턴, 스마일 모양을 매끄럽게 맞추는 SABR, 둘을 섞은 SLV, 최근 연구가 몰린 러프 볼래틸리티까지 있다.

어느 모델을 쓰느냐에 따라 같은 옵션의 델타가 달라진다. 개별 옵션 델타는 요즘 증권사 화면에 뜨지만 그것도 증권사가 고른 모델의 답이고, 종목이나 시장 단위로 합산하려면 별도 데이터가 필요하다.

3. 감마

델타는 고정값이 아니다. 주가가 1달러 변할 때 델타가 변하는 양이 감마다.

• 롱 감마(양수): 오르면 델타 증가, 내리면 델타 감소
• 숏 감마(음수): 반대

콜이든 풋이든 매수자가 롱 감마, 매도자가 숏 감마다. 행사가와 만기가 같으면 콜과 풋의 감마는 같은 값이다.

감마가 양수면 오를 때 자동으로 더 롱이 되고 내릴 때 덜 롱이 된다. 방향과 무관하게, 크게 움직일수록 유리해지는 정도다(볼록성). 음수면 반대. 다만 손익은 델타 쪽과 합해야 나온다. 감마가 양수여도 방향이 크게 어긋나면 잃는다.

주식과 선물은 감마가 0이다. 델타가 수량으로 고정이라 변할 것이 없다. 그래도 감마를 봐야 하는 이유는 둘이다. 시장 상태를 알려면 남들의 감마를 봐야 하고(6장), 옵션을 안 사도 감마가 생기는 상품이 있다.

3.1. 레버리지 ETF의 감마

매일 정해진 배수를 유지하도록 재조정하는 펀드의 가치는 비용을 빼면 이렇게 쓸 수 있다. 계산할 일은 없고, 볼 곳은 두 군데다.

끌림 = ½ × 배수 × (배수 − 1) × 변동성²

exp(−x)는 시간이 갈수록 값을 깎아내리는 항이다. 끌림이 클수록 빨리 깎인다.

주가에 대해서만 보면 배수 제곱 꼴이라, 두 번 미분하면 배수 × (배수 − 1)이 남는다. 3배면 계수는 6, 인버스 1배면 계수는 2. 3배든 인버스든 감마는 양수다. (배수가 0과 1 사이면 음수지만 그런 상품은 아무도 안 만든다.)

그런데 지수함수 안의 계수도 같은 배수 × (배수 − 1)이다. 앞이 감마, 뒤가 그 대가로 내는 세타 — 변동성 끌림이라 부르는 것이다. 공짜 볼록성이 없다는 게 식 하나에 들어 있다.

인버스인데 감마가 양수인 게 이상하게 들릴 수 있다. 양수라는 건 돈을 번다는 뜻이 아니라 손익 곡선이 위로 휘어 있다는 뜻이다. 인버스는 델타가 음수라 주가가 오르면 잃는다. 다만 오를수록 손실이 비례보다 덜 늘고, 내릴수록 이익이 비례보다 더 는다. 방향은 델타가, 휨은 감마가 담당한다.

3.2. 세타

주가가 그대로일 때 하루가 지나면 계좌 평가액이 얼마나 변하는가. 옵션 매수자의 세타는 대체로 음수라 가만히 있으면 매일 조금씩 잃는다. 감마와 세타는 부호가 반대로 붙는데, 경험칙이 아니라 방정식이라는 걸 5장에서 본다.

이 둘의 균형을 다루는 게 마켓메이커와 헤지펀드의 일상이다. 델타는 현물을 사고팔아 0 근처로 계속 맞춰 방향 위험을 지우고, 감마 이익과 세타 비용의 차이에서 수익을 노린다(감마 스캘핑). 어디로 갈지 맞히는 게임이 아니라 얼마나 움직일지를 사고파는 게임이다.

감마도 델타처럼 관찰값이 아니라 모델을 두 번 미분해 얻는다.

4. 베가

중요한 개념이긴 한데, 여기까지도 버거웠다면 일단 건너뛰어도 된다. 5.6에서 다시 나오니 그때 돌아와도 늦지 않다.

내재변동성이 1%p 오를 때 옵션 가격이 얼마나 변하는가.

• 콜이든 풋이든 매수자의 베가는 항상 양수다. 변동성이 커지면 옵션이 비싸진다.
• 주식은 0. 행사가가 현재 주가와 같을 때 가장 크다.

행사가는 옵션을 행사할 때 주식을 사거나 팔기로 미리 정해둔 가격이다. 행사가 50달러 콜옵션은 주가가 얼마가 되든 50달러에 살 권리를 준다. 그래서 주가가 행사가에서 멀어질수록 옵션의 운명이 정해지고, 행사가 근처일 때 가장 불확실하다.

감마와 헷갈리기 쉬운데, 만기에 대한 반응이 정반대다. 행사가가 현재 주가와 같은 옵션 기준으로:

옵션 하나를 사면 롱 감마이면서 롱 베가다. 실적 발표 전에 산 옵션이 발표 후 주가가 크게 움직였는데도 손실이 나는 게 여기서 온다. 움직임으로 감마 이익은 났지만, 내재변동성이 꺼지면서(IV crush) 베가 손실이 더 컸던 것이다. 같이 붙어 다니는 것처럼 보여도 반응하는 대상이 다르다.

떼어놓을 수도 있다. 단기를 사고 장기를 팔면(역캘린더 스프레드) 롱 감마 + 숏 베가가 된다. 감마는 단기 쪽이, 베가는 장기 쪽이 크기 때문이다.

그래서 "롱 감마 = 변동성 매수"는 반쪽이다. 감마는 실현변동성 매수, 베가는 내재변동성 매수다.

5. 왜 시간이 아니라 주가로 전개하는가

실무에서 쓰는 전개는 주가에 대한 것만이 아니다.

트레이딩 데스크의 손익 분해(P&L attribution)가 이 식이다.

세타 항도 베가 항도 다 쓴다. 질문은 왜 주가만 2차까지 가고 시간은 1차에서 멈추는가다.

5.1. 이토 스케일링

주가는 랜덤워크(수학적으로 표현하는 정확한 방법이 있다)라 시간에 대해 제곱근으로 움직인다.

이 제곱근 때문에 각 항의 크기가 갈린다.

주가에 대한 2차가 시간에 대한 1차와 같은 크기다. 감마와 세타가 늘 짝으로 다니는 이유이자, 3차 미분이 안 보이는 이유다. 주가는 제곱까지 살리고 시간은 1차에서 끊는 게 자의적인 게 아니라 정밀도를 맞춘 것이다.

5.2. 델타를 지우면 위험이 사라진다

먼저 델타를 지운다는 게 실제로 무슨 행동인지 보자. 콜옵션 1계약을 판 마켓메이커를 생각하자. 그 옵션의 델타가 0.4이고 1계약이 100주면, 판 쪽 델타는 −40이다. 주가가 1달러 오르면 40달러를 잃는다. 여기서 기초주식 40주를 사두면 주식 쪽에서 40달러를 벌어 정확히 상쇄된다. 방향에 대한 노출이 사라진다. 이게 델타 헤지다.

문제는 주가가 움직이면 옵션 델타도 같이 변한다는 것이다. 그게 감마다. 주가가 올라 델타가 0.45가 되면 이제 45주가 필요하니 5주를 더 사고, 내려서 0.35가 되면 5주를 판다. 이걸 만기까지 계속 반복한다. 오르면 사고 내리면 파는 이 행동이 6장에서 딜러 헤지 흐름이라 부르는 바로 그것이다.

이렇게 계속 맞추면 1차 항인 델타 항은 0으로 유지되고, 감마 항과 세타 항만 남는다. 그런데 주가 변화의 제곱은 랜덤이 아니다. 오르든 내리든 제곱하면 부호가 사라지고, 크기는 짧은 구간에서 거의 확정된다. 델타 헤지된 옵션 포지션에는 위험이 없다.

5.3. 무위험이면 무위험 이자율

위험이 없는데(즉, 수학적으로 충분히 예측되는데) 은행 이자보다 더 버는 옵션 포지션이 있다고 하자. 이자를 내고 돈을 빌려 그 포지션을 만든다. 위험이 없으니 수익은 지금 확정돼 있고, 가정상 이자보다 크다. 나중에 정리해서 대출을 갚으면 차액이 남는다. 내 돈은 안 들어갔고 잃을 가능성도 0이었다. 규모를 천 배로 키우면 차액도 천 배가 된다. 무한한 돈을 찍는 기계라 시장에 남아 있을 수 없다. 발견되는 즉시 매매가 몰려 가격이 움직이고 기회가 사라진다. 이자보다 덜 벌어도 논리는 반대로 성립한다. 포지션을 뒤집고 돈은 은행에 넣으면 되니까. 그래서 수익률은 위도 아래도 아닌 정확히 무위험 이자율이다.

이 조건을 정리한 게 블랙–숄즈 방정식이다.

세타에 대해 풀면

세타는 독립된 정보가 아니다. 가격·델타·감마를 알면 계산되어 나온다. 따로 관리할 이유가 없다. 주가에 대한 미분만이 기본 좌표계가 되고 세타는 거기서 나오는 값이 된다.

여기가 기발한 지점이다. 시간에 대한 미분을 주가에 대한 미분으로 구해냈다. 보통은 이런 게 안 된다. 뉴턴 역학에서 물체의 x 방향 움직임과 y 방향 움직임은 서로 아무것도 알려주지 않는다. 독립된 축이니까. 옵션 가격도 주가·시간·변동성이라는 독립 축 위의 함수라, 원래대로면 각 축의 기울기는 따로 재야 한다.

그런데 무차익 조건 하나가 축들을 묶어버렸다. 세 축을 자유롭게 돌아다닐 수 있는 함수가 아니라, 그 안의 얇은 면 위에만 존재할 수 있는 함수가 된 것이다. 블랙–숄즈 방정식은 가격을 계산해 주는 공식이라기보다 그 면을 규정하는 제약식이다. 제약이 이만큼 세다는 것 자체가 결론이다.

이자율을 빼면 더 선명하다.

감마가 양수면 세타는 반드시 음수다. 3장의 "부호가 반대"는 경험칙이 아니라 이 식이었다. 3.1에서 앞뒤 계수가 똑같았던 것도 같은 이야기다.

5.4. 완충용액

완충용액은 산을 부어도 pH가 거의 안 변한다. 짝염기가 수소이온을 흡수하고, 염기를 부으면 짝산이 내놓는다. 어느 쪽으로 밀든 반대 반응이 일어나 되돌린다.

감마를 공짜로 못 얻는 게 이 구조다. 볼록성이 좋아 보여 사려 들면 값이 오르고, 오른 만큼 세타가 깊어진다. 산을 부어도 pH가 안 변하듯, 감마를 사도 헤지된 수익률은 무위험 이자율 그대로다. 남는 건 내가 산 감마의 값(내재변동성)보다 주가가 실제로 더 흔들릴 것인가라는 내기 하나다. 그게 감마 스캘핑이다.

한계도 분명하다. 완충용액의 평형은 물리 법칙이지만 시장의 평형은 차익거래 자본이 만든다. 자본이 빠지면 평형도 사라진다. 2020년 3월처럼 유동성이 증발하면 델타 헤지 자체가 안 되고 가격이 이론값에서 크게 벌어진다.

5.5. 남는 이유 둘

1. 시간은 랜덤하지 않다. 위험 분해는 랜덤한 변수 기준이어야 한다. 내일이 온다는 건 확실하고, 불확실한 건 그때 주가다.
2. 시간은 거래할 수 없다. 델타와 감마는 "현물을 몇 주 사고팔아라"로 번역되지만, 세타는 조정 대상이 아니라 청구서다.

5.6. 베가만은 예외

베가는 이 논리로 지워지지 않는다. 블랙–숄즈는 변동성을 상수로 놓고 세운 식인데 현실의 변동성은 변한다. 모델이 없다고 친 위험이라 모델이 묶어줄 수도 없다. 세타는 계산되는 값이지만 베가는 따로 관리해야 하는 위험으로 남는다. 3차 미분보다 베가를 훨씬 중요하게 보는 이유다.

위 전개는 작은 변화를 전제한 근사다. 주가가 크게 튀거나 만기가 코앞이면 다시 계산해야 한다.

6. 감마 스퀴즈와 GEX

콜 매수가 한쪽으로 몰리면 주문을 받은 딜러는 숏 콜, 즉 숏 감마 + 음의 델타가 된다. 방향 위험을 지우려고 현물을 산다.

주가 상승 → 콜 델타 증가 → 딜러의 음의 델타 확대 → 헤지 위해 현물 추가 매수 → 주가 추가 상승

이 자기강화 루프가 감마 스퀴즈다. 반대 방향으로도 작동해 하락을 증폭한다. 주식만 장기 보유하는 사람에게도 상관이 있다. 내 계좌에 감마가 없어도 내가 사는 가격은 남들의 감마가 만든다.

6.1. 감마 익스포저(GEX)

스퀴즈 가능성을 보려면 내 감마가 아니라 시장 전체의 감마 노출을 봐야 한다. 보통 딜러 전체의 순감마를, 주가가 1% 움직일 때 딜러가 사거나 팔아야 하는 현물 금액으로 환산해 표시한다.

• 양수: 딜러가 오르면 팔고 내리면 사는 쪽 → 변동성 억제
• 음수: 딜러가 오르면 사고 내리면 파는 쪽 → 변동성 증폭. 감마 스퀴즈는 이 구간에서 나온다
• 부호가 뒤집히는 주가 수준이 감마 플립. 그 아래로 내려가면 시장이 거칠어진다고 본다. 널리 쓰이는 통설이지 검증된 법칙은 아니다

GEX를 움직이는 요소.

• 행사가 분포: 현재가 근처 행사가에 미결제약정이 몰릴수록 감마가 크다
• 잔존만기: 만기가 가까울수록 행사가가 현재가 근처인 옵션의 감마가 급증한다(4장의 제곱근 관계). 만기 당일 옵션(0DTE) 비중이 늘면 GEX가 하루 안에도 크게 흔들린다
• 누가 사고 누가 팔았나: 고객이 사는 쪽이면 딜러가 숏 감마, 고객이 파는 쪽이면(커버드콜 매도, 풋 매도) 딜러가 롱 감마
• 현물 유동성: 같은 규모의 헤지라도 거래대금이 작은 종목일수록 충격이 크다

딜러가 항상 숏 감마인 건 아니다. 개인 매수세가 콜에 쏠릴 때 그렇게 되기 쉬울 뿐, 커버드콜 ETF가 커진 시장에서는 딜러가 롱 감마인 상태가 오래 가기도 한다.

6.2. 알려주는 것과 아닌 것

GEX가 말하는 건 하나다. 주가가 움직이면 딜러가 어떻게 반응하는가. 조건문이지 예측이 아니다. "오르면 딜러가 판다"는 오를지에 대해 아무 말도 하지 않는다.

GEX는 노면 상태지 핸들이 아니다. 길이 얼었는지는 알려주지만 어디로 갈지는 안 알려준다.